Giải bài 11 trang 74 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:
Đề bài
Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:
a) \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
c) \({x^2} - 16{y^2} = 16\)
d) \(9{x^2} - 16{y^2} = 144\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc của hypebol
Bước 2: Phương trình có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)ta có:
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh: \(A(0;b),B(a;0),C(0; - b),D( - a;0)\)
Độ dài trục thực 2a
Độ dài trục ảo 2b
Lời giải chi tiết
a) Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) đã có dạng phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) nên ta có: \(a = 4,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\)
Suy ra ta có:
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh: \(A(0;3),B(4;0),C(0; - 3),D( - 4;0)\)
Độ dài trục thực 8
Độ dài trục ảo 6
b) Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\) đã có dạng phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) nên ta có: \(a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10\)
Suy ra ta có:
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 10;0} \right),{F_2}\left( {10;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh: \(A(0;6),B(8;0),C(0; - 6),D( - 8;0)\)
Độ dài trục thực 16
Độ dài trục ảo 12
c) \({x^2} - 16{y^2} = 16 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol đã cho là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Suy ra \(a = 4,b = 1 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{4^2} + {1^2}} = \sqrt {17} \)
Từ đó ta có:
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt {17} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {17} ;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh: \(A(0;1),B(4;0),C(0; - 1),D( - 4;0)\)
Độ dài trục thực 8
Độ dài trục ảo 2
d) \(9{x^2} - 16{y^2} = 144 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{\frac{{144}}{9}}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{144}}{{16}}}} = 1\)
Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol đã cho là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Suy ra \(a = 4,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\)
Từ đó ta có:
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh: \(A(0;3),B(4;0),C(0; - 3),D( - 4;0)\)
Độ dài trục thực 8
Độ dài trục ảo 6