Giải bài 13 trang 77 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d:x+y=2 cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng dn:y=2n+1nx tại điểm Pn(n∈N∗). Kí hiệu Sn là diện tích của tam giác OAPn. Tính lim.
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d:x + y = 2 cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng {d_n}:y = \frac{{2n + 1}}{n}x tại điểm {P_n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right). Kí hiệu {S_n} là diện tích của tam giác OA{P_n}. Tính \lim {S_n}.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b và c là hằng số: \lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b, \lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a, \lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right).
+ Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản để tính: \lim {q^n} = 0 (q là số thực, \left| q \right| < 1), \lim c = c (c là hằng số).
Lời giải chi tiết
Ta có: A\left( {0;2} \right);OA = 2;\widehat {OA{P_n}} = {45^0}
Vì P là giao điểm của {d_n} và d nên tọa độ của P là nghiệm của hệ phương trình:
\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\y = \frac{{2n + 1}}{n}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{2n + 1}}{n}x = 2\\y = \frac{{2n + 1}}{n}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x.\frac{{3n + 1}}{n} = 2\\y = \frac{{2n + 1}}{n}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2n}}{{3n + 1}}\\y = \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}\end{array} \right.
Do đó, {P_n}\left( {\frac{{2n}}{{3n + 1}};\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}} \right)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của {P_n} trên trục Ox.
Khi đó: {P_n}H = \left| {\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}} \right| = \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}\left( {do\;n \in \mathbb{N}*} \right)
Diện tích tam giác OA{P_n} là: {S_n} = \frac{1}{2}.OA.{P_n}H = \frac{1}{2}.2.\frac{{4n + 2}}{{3n + 1}} = \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}}
\lim {S_n} = \lim \frac{{4n + 2}}{{3n + 1}} = \lim \frac{{4 + \frac{2}{n}}}{{3 + \frac{1}{n}}} = \frac{4}{3}