Giải bài 12 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB=10m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc α(0<α<π2), rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển. a) Viết công thức tính S(α) theo α(0<α<π2). b) Xét tính liên tục của hàm số y=S(α)
Đề bài
Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB=10m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc α(0<α<π2), rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển.
a) Viết công thức tính S(α) theo α(0<α<π2).
b) Xét tính liên tục của hàm số y=S(α) trên khoảng (0;π2).
c) Tính các giới hạn limα→0+S(α) và limα→π2+S(α).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số để tính: Cho limx→x+0f(x)=L,limx→x+0g(x)=M: limx→x+0[f(x)±g(x)]=L±M.
Lời giải chi tiết
a) Kí hiệu O là tâm hình tròn.
Do tam giác ABC vuông tại C nên AC=ABcosα=10cosα(m)
Ta có: ^BOC=2^BAC=2α nên độ dài cung BC là: l=OB.^BOC=5.2α=10α(m)
Quãng đường di chuyển của người đó là:
S(α)=AC+l=10cosα+10α=10(cosα+α)(m) (0<α<π2)
b) Do các hàm số y=α,y=cosα liên tục trên R nên hàm số y=S(α) liên tục trên (0;π2).
c) limα→0+S(α)=limα→0+10(α+cosα)=10(limα→0+α+limx→0+cosα)=10(0+1)=10
limα→(π2)+S(α)=limα→(π2)+10(α+cosα)=10(limα→(π2)+α+limα→(π2)+cosα)=10(π2+0)=5π