Giải bài 12 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB=10m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc α(0<α<π2), rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển. a) Viết công thức tính S(α) theo α(0<α<π2). b) Xét tính liên tục của hàm số y=S(α)
Đề bài
Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB=10m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc α(0<α<π2), rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển.
a) Viết công thức tính S(α) theo α(0<α<π2).
b) Xét tính liên tục của hàm số y=S(α) trên khoảng (0;π2).
c) Tính các giới hạn lim và \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} S\left( \alpha \right).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số để tính: Cho \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = M: \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M.
Lời giải chi tiết
a) Kí hiệu O là tâm hình tròn.
Do tam giác ABC vuông tại C nên AC = AB\cos \alpha = 10\cos \alpha \left( m \right)
Ta có: \widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2\alpha nên độ dài cung BC là: l = OB.\widehat {BOC} = 5.2\alpha = 10\alpha \left( m \right)
Quãng đường di chuyển của người đó là:
S\left( \alpha \right) = AC + l = 10\cos \alpha + 10\alpha = 10\left( {\cos \alpha + \alpha } \right)(m) \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)
b) Do các hàm số y = \alpha ,y = \cos \alpha liên tục trên \mathbb{R} nên hàm số y = S\left( \alpha \right) liên tục trên \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).
c) \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} S\left( \alpha \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} 10\left( {\alpha + \cos \alpha } \right) = 10\left( {\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} \alpha + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \cos \alpha } \right) = 10\left( {0 + 1} \right) = 10
\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} S\left( \alpha \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} 10\left( {\alpha + \cos \alpha } \right) = 10\left( {\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \alpha + \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \cos \alpha } \right) = 10\left( {\frac{\pi }{2} + 0} \right) = 5\pi