Giải bài 12 trang 77 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho tam giác OMN vuông cân tại O, OM=ON=1. Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông OA1B1C1 sao cho các đỉnh A1,B1,C1 lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác A1MB1, vẽ hình vuông A1A2B2C2 sao cho các đỉnh A2,B2,C2 lần lượt nằm trên các cạnh A1M,MB1,A1B1. Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.
Đề bài
Cho tam giác OMN vuông cân tại O, OM=ON=1. Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông OA1B1C1 sao cho các đỉnh A1,B1,C1 lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác A1MB1, vẽ hình vuông A1A2B2C2 sao cho các đỉnh A2,B2,C2 lần lượt nằm trên các cạnh A1M,MB1,A1B1. Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để tính tổng: Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q thỏa mãn |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là: S=u1+u2+...+un+...=u11−q
Lời giải chi tiết
Độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là:
a1=12,a2=12a1=12.12=(12)2,a3=12a2=12(12)2=(12)3,...
Diện tích của các hình vuông lần lượt là:
S1=a21=(12)2=14,
S2=a22=((12)2)2=(14)2,
S3=a23=((12)3)2=(14)3,...
Các diện tích S1,S2,S3,... lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là S1=14 và công bội bằng 14.
Do đó, tổng diện tích các hình vuông là: S=14.11−14=13