Giải bài 12 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho nửa đường tròn đường kính $AB = 2$. Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A, cắt nửa đường tròn tại C và tạo với đường thẳng AB góc $\alpha \left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)$. Kí hiệu diện tích tam giác ABC là $S\left( \alpha  \right)$ (phụ thuộc vào $\alpha$). Xét tính liên tục của hàm số $S\left( \alpha  \right)$ trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ và tính các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} S\left( \alpha  \right)$; $\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} S\left( \alpha  \right)$

Lời giải chi tiết

$S\left( \alpha  \right) = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}.2\cos \alpha .2\sin \alpha  = \sin 2\alpha ,\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Do hàm số $y = \sin 2\alpha$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $y = S\left( \alpha  \right)$ liên tục trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

$\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} S\left( \alpha  \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} \sin 2\alpha  = \sin 0 = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} S\left( \alpha  \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \sin 2\alpha  = \sin \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) = 0$