Giải bài 12 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(t,t2),t>0, nằm trên đường parabol y=x2. Đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N. Điểm N dần đến điểm nào khi M dần đến điểm O?
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(t,t2),t>0, nằm trên đường parabol y=x2. Đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N. Điểm N dần đến điểm nào khi M dần đến điểm O?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về giới hạn một phía để tính:
+ Cho lim, khi đó: \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M
+ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } c = c (với c là hằng số).
Lời giải chi tiết
Trung điểm của đoạn thẳng OM là I\left( {\frac{t}{2};\frac{{{t^2}}}{2}} \right)
Đường trung trực của OM nhận vectơ \overrightarrow {OM} = \left( {t,{t^2}} \right) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình d: t\left( {x - \frac{t}{2}} \right) + {t^2}\left( {y - \frac{{{t^2}}}{2}} \right) = 0.
Thay x = 0 vào phương trình của d, ta nhận được y = \frac{1}{2}\left( {1 + {t^2}} \right)
Suy ra N\left( {0;\frac{1}{2}\left( {1 + {t^2}} \right)} \right).
Điểm M dần đến điểm O khi t dần đến {0^ + }. Ta có: \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \frac{1}{2}\left( {1 + {t^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + {0^2}} \right) = \frac{1}{2}.
Suy ra điểm M dần đến điểm O khi điểm N dần đến điểm A\left( {0;\frac{1}{2}} \right).