Giải bài 14 trang 30 SBT toán 10 - Cánh diều
Gía trị nhỏ nhất của biểu thức F=−x+y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình {−2x+y≤2−x+2y≥4x+y≤5 là:
Đề bài
Gía trị nhỏ nhất của biểu thức F=−x+y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình {−2x+y≤2−x+2y≥4x+y≤5 là:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy
- Biểu diễn F(x;y) đạt max hoặc min tại một trong các điểm đỉnh nên ta chỉ cần tính giá trị của F(x;y) tại các đỉnh đó
Lời giải chi tiết
Bài toán đã cho trở thành tìm nghiệm (x; y) của hệ bất phương trình {−2x+y≤2−x+2y≥4x+y≤5 sao cho biểu thức F=−x+y đạt giá trị nhỏ nhất
Trước hết ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho:
Ta có ba đường thẳng: d1:−2x+y=2;d2:−x+2y=4 và d3:x+y=5
+) Lấy O(0;0) có – 2.0 + 0 = 0 < 2. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – 2x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d 1 .
+) Lấy O(0; 0) có – 0 + 2.0 = 0 < 4. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – x + 2y ≥ 4 là nửa mặt phẳng không chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d 2 .
+) Lấy O(0; 0) có 0 + 0 = 0 < 5. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) và có bờ là đường thẳng d 3 .
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A(0; 2), B(1; 4) và C(2; 3) như trong hình vẽ sau:
Tại A(0;2), với x = 0, y = 2 thì F = – 0 + 2 = 2.
Tại B(1;4), với x = 1, y = 4 thì F = – 1 + 4 = 3.
Tại C(2;3), với x = 2, y = 3 thì F = – 2 + 3 = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là 1 tại x = 2 và y = 3.
Chọn B