Giải bài 14 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Lập phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( {1; - 2;4} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right):x - y - 2 = 0,\left( R \right):y + z + 3 = 0$.

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1;0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( R \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0;1;1} \right)$.

Vì $\left( P \right)$ vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right),\left( R \right)$ nên vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ vuông góc với cả $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$.

Do đó, $\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$- 1\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y + 2} \right) + 1\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x - y + z - 5 = 0$.