Giải bài 14 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Lập phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (Ileft( {1; - 2;4} right)) và vuông góc với hai mặt phẳng (left( Q right):x - y - 2 = 0,left( R right):y + z + 3 = 0).
Đề bài
Lập phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {1; - 2;4} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):x - y - 2 = 0,\left( R \right):y + z + 3 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \):
Bước 1: Tìm \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ pháp tuyến.
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( R \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;1;1} \right)\).
Vì \(\left( P \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right),\left( R \right)\) nên vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) vuông góc với cả \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
Do đó, \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
\( - 1\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y + 2} \right) + 1\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow - x - y + z - 5 = 0\).