Giải bài 19 trang 91 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng: a) (widehat {NCA} = widehat {MFN}) và (widehat {NEA} = widehat {NCA}) b) CM + CN = EF.
Đề bài
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng:
a) ^NCA=^MFN và ^NEA=^NCA
b) CM + CN = EF.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh tứ giác NACE nội tiếp đường tròn suy ra ^NEA=^NCA .
Chứng minh CN = CE và CM = CF suy ra CM + CN = EF.
Lời giải chi tiết
a) Ta có các điểm A, M, C, F cách đều điểm I (trung điểm của MF) suy ra tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn. Do tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn nên ^MCA=^MFA hay ^NCA=^MFN
Tương tự tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên ^NEA=^NCA.
b) Ta có tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên ^ENC=^EAC=45o. Mà ^NCE=90o. Suy ra tam giác CEN cân tại C. Vì thế CN = CE (1).
Tương tự tam giác CMF cân tại C suy ra CM = CF (2).
Từ (1) và (2) suy ra CM + CN = CE + CF = EF.