Giải bài 19 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình tứ diện ABCD có AB⊥(BCD),các tam giác BCD và ACD
Đề bài
Cho hình tứ diện ABCD có AB⊥(BCD),các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD. Chứng minh rằng:
a) AD⊥CH;
b*) HK⊥(ACD).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Lời giải chi tiết
a) Vì AB⊥(BCD),CH⊂(BCD)⇒AB⊥CH. Do H là trực tâm của tam giác (BCD) nên CH⊥BD.
Mà AB, BD cắt nhau trong mặt phẳng (ABD) nên CH⊥(ABD).
Từ CH⊥(ABD),AD⊂(ABD)⇒AD⊥CH.
b*) Vì H là trực tâm của tam giác BCD nên BH⊥CD.
Lại có, AB⊥(BCD),CD⊂(BCD)⇒AB⊥CD.
Mà AB, BD cắt nhau trong mặt phẳng (ABI) nên CD⊥(ABI).
Từ CD⊥(ABI),HK⊂(ABI)⇒CD⊥HK.
Vì K là trực tâm của tam giác ACD nên CK⊥AD. Mà CK, CH cắt nhau trong mặt phẳng (CHK) nên AD⊥(CHK).
Lại có, AD⊥(CHK),HK⊂(CHK)⇒AD⊥HK.
Bên cạnh đó, AD, CD cắt nhau trong mặt phẳng (ACD) nên HK⊥(ACD).