Giải bài 2 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’.
Đề bài
Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách (không làm thay đổi khoảng cách) giữa 2 điểm bất kì.
Lời giải chi tiết
• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)
• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.
Ta có M′=f(M),N′=f(N).
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.
Suy ra →MH+→M′H=→0;→KN+→KN′=→0
Ta có:
→MN+→M′N′=(→MH+→HK+→KN)+(→M′H+→HK+→KN′)=(→MH+→M′H)+(→KN+→KN′)+2→HK
=→0+→0+2→HK (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)
=2→HK
→MN−→M′N′=(→HN−→HM)−(→HN′−→HM′)=→HN−→HM−→HN′+→HM′=(→HN−→HN′)+(→HM′−→HM)=→N′N+→MM′
Khi đó
→MN2−→M′N′2=(→MN+→M′N′)(→MN−→M′N′)=2→HK(→N′N+→MM′)=2→HK.→N′N+2→HK.→MM′=2.0+2.0=0
(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên →MM′⊥→HK;→NN′⊥→HK)
Suy ra →MN2=→M′N′2
Do đó MN=M′N′(2)
Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Vậy f là một phép dời hình.