Giải bài 2 trang 106 vở thực hành Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F như hình sau đây. Biết $\widehat {BEC} = {40^o}$ và $\widehat {DFC} = {20^o}$, tính số đo các góc của tứ giác ABCD.

Lời giải chi tiết

Vì tổng các góc trong tam giác $ADE$ bằng 180 ^o nên  $\hat A + \hat D = {180^ \circ } - \widehat E = {140^ \circ }$.

Do vậy $\frac{1}{2}\left( {\widehat {BOC} + \widehat {COD}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOB} + \widehat {BOC}} \right) = {140^o}$

Suy ra $\frac{1}{2}\left( {{{360}^o} + \widehat {BOC} - \widehat {AOD}} \right) = {140^o}$, hay $\widehat {DOA} - \widehat {BOC} = {80^o}$ (1)

Mặt khác, tổng các góc trong tam giác ABF  bằng 180 ^o nên  $\hat A + \hat B = {180^ \circ } - \widehat F = {160^ \circ }$.

Do vậy $\frac{1}{2}\left( {\widehat {BOC} + \widehat {COD}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\widehat {COD} + \widehat {DOA}} \right) = {160^o}$

Suy ra $\frac{1}{2}\left( {{{360}^o} + \widehat {COD} - \widehat {AOB}} \right) = {160^o}$, hay $\widehat {AOB} - \widehat {COD} = {40^o}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được $\widehat {AOB} + \widehat {DOA} - \widehat {COD} - \widehat {BOC} = {120^o}$

hay $sđ\overset\frown{DAB}-sđ\overset\frown{BCD}={{120}^{o}}$, chú ý rằng $sđ\overset\frown{DAB}+sđ\overset\frown{BCD}={{360}^{o}}$

Suy ra: $\widehat{C}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{DAB}=\frac{{{120}^{o}}+{{360}^{o}}}{4}={{120}^{o}}$; $\widehat{A}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{BCD}=\frac{{{360}^{o}}-{{120}^{o}}}{4}={{60}^{o}}$.

Trừ vế với vế của (1) cho (2), ta được $\widehat {DOA} + \widehat {COD} - \widehat {AOB} - \widehat {BOC} = {40^o}$

hay $sđ\overset\frown{CDA}-sđ\overset\frown{ABC}={{40}^{o}}$, chú ý rằng $sđ\overset\frown{CDA}+sđ\overset\frown{ABC}={{360}^{o}}$

Suy ra: $\widehat{B}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{CDA}=\frac{{{40}^{o}}+{{360}^{o}}}{4}={{100}^{o}}$; $\widehat{D}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{ABC}=\frac{{{360}^{o}}-{{40}^{o}}}{4}={{80}^{o}}$.