Giải bài 2 trang 13 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $2{x^2} - 15x + 28 \ge 0$

b) $- 2{x^2} + 19x + 255 > 0$

c) $12{x^2} < 12x - 8$

d) ${x^2} + x - 1 \ge 5{x^2} - 3x$

Lời giải chi tiết

a) Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = 2{x^2} - 15x + 28$ có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{7}{2};{x_2} = 4$

và có $a = 2 > 0$ nên $f\left( x \right) \ge 0$ khi x thuộc hai nửa khoảng $\left( { - \infty ;\frac{7}{2}} \right];\left[ {4; + \infty } \right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2{x^2} - 15x + 28 \ge 0$ là $\left( { - \infty ;\frac{7}{2}} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$

b) Tam thức bậc hai $f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 19x + 255$ có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} =  - \frac{{15}}{2};{x_2} = 17$

và có $a =  - 2 < 0$ nên $f\left( x \right) > 0$ khi x thuộc khoảng $\left( { - \frac{{15}}{2};17} \right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $- 2{x^2} + 19x + 255 > 0$ là $\left( { - \frac{{15}}{2};17} \right)$

c) $12{x^2} < 12x - 8 \Leftrightarrow 12{x^2} - 12x + 8 < 0$

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = 12{x^2} - 12x + 8$ có $\Delta  =  - 240 < 0$ và $a = 12 > 0$

nên $f\left( x \right) = 12{x^2} - 12x + 8$ dương với mọi x

Vậy bất phương trình $12{x^2} < 12x - 8$ vô nghiệm

d) ${x^2} + x - 1 \ge 5{x^2} - 3x \Leftrightarrow -4{x^2} + 4x - 1 \ge 0$

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = -4{x^2} + 4x - 1$ có $\Delta  = 4^2 - 4.(-4).(-1)$

Do đó tam thức bậc hai có nghiệm kép ${x_1} = {x_2}= \frac{1}{2}$ và a = - 4 < 0

Vậy bất phương trình ${x^2} + x - 1 \ge 5{x^2} - 3x$ có tập nghiệm S = {$\frac{1}{2}$}