Giải bài 1 trang 118 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

LG a

a) $23;{\rm{ }}41;{\rm{ }}71;{\rm{ }}29;{\rm{ }}48;{\rm{ }}45;{\rm{ }}72;{\rm{ }}41$.

Phương pháp giải:

Cho mẫu số liệu: ${x_1},{x_2},...,{x_n}$

+) Số trung bình: $\overline x  = \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}$

+) Tứ phân vị: ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: ${X_1},{X_2},...,{X_n}$

Bước 2: ${Q_2} = {M_e} = \left\{ \begin{array}{l}{X_{k + 1}}\quad \quad \quad \quad \quad (n = 2k + 1)\\\frac{1}{2}({X_k} + {X_{k + 1}})\quad \;\,(n = 2k)\end{array} \right.$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái ${Q_2}$ (không bao gồm ${Q_2}$ nếu n lẻ)

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải ${Q_2}$ (không bao gồm ${Q_2}$ nếu n lẻ)

+) Mốt ${M_o}$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)

Lời giải chi tiết:

) $23;{\rm{ }}41;{\rm{ }}71;{\rm{ }}29;{\rm{ }}48;{\rm{ }}45;{\rm{ }}72;{\rm{ }}41$.

+) Số trung bình: $\overline x  = \frac{{23 + 41 + 71 + 29 + 48 + 45 + 72 + 41}}{8} = 46,25$

+) Tứ phân vị: ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $23;{\rm{ }}29;{\rm{ }}41;{\rm{  }}41;\;{\rm{ }}45;{\rm{ }}48;\;71;72$

Bước 2: $n = 8$, là số chẵn nên ${Q_2} = {M_e} = \frac{1}{2}(41 + 45) = 43$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu $23;{\rm{ }}29;{\rm{ }}41;{\rm{ }}41$. Do đó ${Q_2} = \frac{1}{2}(29 + 41) = 35$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu $45;{\rm{ }}48;\;71;72$. Do đó ${Q_3} = \frac{1}{2}(48 + 71) = 59,5$

+) Chỉ có giá trị 41 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.

Do đó mốt ${M_o} = 41$

LG b

b) $12;{\rm{ }}32;{\rm{ }}93;{\rm{ }}78;{\rm{ }}24;{\rm{ }}12;{\rm{ }}54;{\rm{ }}66;{\rm{ }}78$.

Phương pháp giải:

Cho mẫu số liệu: ${x_1},{x_2},...,{x_n}$

+) Số trung bình: $\overline x  = \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}$

+) Tứ phân vị: ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: ${X_1},{X_2},...,{X_n}$

Bước 2: ${Q_2} = {M_e} = \left\{ \begin{array}{l}{X_{k + 1}}\quad \quad \quad \quad \quad (n = 2k + 1)\\\frac{1}{2}({X_k} + {X_{k + 1}})\quad \;\,(n = 2k)\end{array} \right.$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái ${Q_2}$ (không bao gồm ${Q_2}$ nếu n lẻ)

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải ${Q_2}$ (không bao gồm ${Q_2}$ nếu n lẻ)

+) Mốt ${M_o}$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)

Lời giải chi tiết:

) $12;{\rm{ }}32;{\rm{ }}93;{\rm{ }}78;{\rm{ }}24;{\rm{ }}12;{\rm{ }}54;{\rm{ }}66;{\rm{ }}78$.

+) Số trung bình: $\overline x  = \frac{{12 + 32 + 93 + 78 + 24 + 12 + 54 + 66 + 78}}{9} \approx 49,89$

+) Tứ phân vị: ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $12;{\rm{ }}12;{\rm{ }}24;{\rm{ }}32;{\rm{ }}54;{\rm{ }}66;{\rm{ }}78;{\rm{ }}78;\;93$

Bước 2: $n = 9$, là số lẻ nên ${Q_2} = {M_e} = 54$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu $12;{\rm{ }}12;{\rm{ }}24;{\rm{ }}32$. Do đó ${Q_2} = \frac{1}{2}(12 + 24) = 18$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu $66;{\rm{ }}78;{\rm{ }}78;\;93$. Do đó ${Q_3} = \frac{1}{2}(78 + 78) = 78$

+) Giá trị 12 và giá trị 78 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.

Do đó mốt ${M_o} = 12,{M_o} = 78.$