Giải bài 2 trang 57 SGK Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Tam giác $ABC$ có $AB = 6cm,AC = 8cm,BC = 10cm$. Đường phân giác của góc $BAC$ cắt cạnh $BC$ tại $D$.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng $DB$ và $DC$.

b) Tính tỉ số diện tích giữa $\Delta ADB$ và $\Delta ADC$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC - BD = 10 - BD$

Vì $AD$ là phân giác của góc $BAC$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{10 - BD}} = \frac{6}{8} \Leftrightarrow 8BD = 6.\left( {10 - BD} \right) \Rightarrow 8BD = 60 - 6BD$

$\Leftrightarrow 8BD + 6BD = 60 \Leftrightarrow 14BD = 60 \Rightarrow BD = \frac{{60}}{{14}} = \frac{{30}}{7}$

$\Rightarrow DC = 10 - \frac{{30}}{7} = \frac{{40}}{7}$

Vậy $BD = \frac{{30}}{7}cm;DC = \frac{{40}}{7}cm$.

b) Kẻ $AE \bot BC \Rightarrow AE$ là đường cao của tam giác $ABC$.

Vì $AE \bot BC \Rightarrow AE \bot BD \Rightarrow AE$là đường cao của tam giác $ADB$

Diện tích tam giác $ADB$ là:

${S_{ADB}} = \frac{1}{2}BD.AE$

Vì $AE \bot BC \Rightarrow AE \bot DC \Rightarrow AE$là đường cao của tam giác $ADC$

Diện tích tam giác $ADC$ là:

${S_{ADC}} = \frac{1}{2}DC.AE$

Ta có: $\frac{{{S_{ADB}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AE.BD}}{{\frac{1}{2}AE.CD}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\frac{{30}}{7}}}{{\frac{{40}}{7}}} = \frac{3}{4}$.

Vậy tỉ số diện tích giữa $\Delta ADB$ và $\Delta ADC$ là $\frac{3}{4}$.