Giải bài 2 trang 82 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn (O; R). Chứng minh ABCD là hình thang cân.
Đề bài
Cho hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn (O; R). Chứng minh ABCD là hình thang cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại M và CD tại N.
Chứng minh O cách đều các đỉnh của hình thang ABCD suy ra MN là trung trực của AB và CD.
Khi đó, chứng minh \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\) ; \(\widehat {DON} = \widehat {CON}\) suy ra \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) .
Chứng minh \(\Delta \) AOD = \(\Delta \) BOC suy ra AD = BC.
Lời giải chi tiết
Qua điểm O vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại M và CD tại N.
Ta có OA = OB = OC = OD = R, suy ra MN là đường trung trực của AB và CD.
Tam giác AOB cân tại O có OM là đường trung trực nên OM cũng là đường phân giác, suy ra \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\).
Tương tự, \(\widehat {DON} = \widehat {CON}\).
Khi đó, ta có:
\(\widehat {AOM} + \widehat {AOD} + \widehat {DON} = \widehat {BOM} + \widehat {BOC} + \widehat {CON} = {180^o}\)
suy ra \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\).
Xét \(\Delta \)AOD và \(\Delta \)BOC có:
OA = OB
\(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\)
OC = OD
Suy ra \(\Delta \)AOD = \(\Delta \)BOC (c.g.c). Dó đó AD = BC.
Vậy ABCD là hình thang cân.