Giải bài 21 trang 67 sách bài tập toán 8 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm, có hai đường phân giác $AD,BE$ cắt nhau tại $O$. Tính :

a)      Độ dài các đoạn thẳng $AE,EC$;

b)     Khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AC$;

c)      Độ dài đường phân giác $AD$ (theo đơn vị centimet và làm tròn kết quả đến hàng phần mười);

d)     Diện tích tam giác $DOE$.

Lời giải chi tiết

a)      Tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ nên theo định lí Pythagore, ta có: $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = 100$, suy ra $BC = 10$ cm.

Vì $BE$ là phân giác nên $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}$.

Suy ra $\frac{{AE}}{4} = \frac{{EC}}{5} = \frac{{AE + EC}}{{4 + 5}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. Vậy $AE = \frac{8}{3}$ cm; $EC = \frac{{10}}{3}$ cm.

b)     Kẻ $OH$ vuông góc với $AC$ tại $H,OH \bot AC,BA \bot AC$ nên $OH//AB$.

Suy ra $\frac{{OH}}{{AB}} = \frac{{OE}}{{EB}}$ (1). Tam giác $AEB$ có $AO$ là phân giác nên $\frac{{EO}}{{OB}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{1}{3}$.

Suy ra $\frac{{EO}}{{EB}} = \frac{1}{4}$ (2). Từ (1) và (2) ta có $\frac{{OH}}{{AB}} = \frac{1}{4}$, suy ra $OH = 2$ cm.

c)      Kẻ $DK \bot AC,DI \bot AB$. Khi đó, tứ giác $AKDI$ có ba góc vuông và đường chéo $AD$ là đường phân giác của góc $KAI$ nên tứ giác $AKDI$ là hình vuông. Suy ra $DK = DI$. Ta có ${S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta ADC}} + {S_{\Delta ADB}}$ nên $\frac{{AC.AB}}{2} = \frac{{AC.DK}}{2} + \frac{{AB.DI}}{2}$ hay $AC.AB = AC.DK + AB.DI = \left( {AB + AC} \right)$. $DK$ (do $DK = DI$). Từ đó, ta có: $DK = \frac{{AB.AC}}{{AB + AC}} = \frac{{8.6}}{{8 + 6}} = \frac{{24}}{7}$. Tứ giác $AKDI$ là hình vuông nên $AD = DK\sqrt 2$. Do đó $AD = \frac{{24\sqrt 2 }}{7} \approx 4,8$ (cm).

d)     Ta có: ${S_{\Delta BAC}} = \frac{1}{2}.6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)$. Suy ra $\frac{{{S_{\Delta BCE}}}}{{{S_{\Delta BAC}}}} = \frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{10}}{3}:6 = \frac{5}{9}$.

Do đó ${S_{\Delta BCE}} = \frac{5}{9}.24 = \frac{{40}}{3}\left( {c{m^2}} \right)$. Tương tự: $\frac{{{S_{\Delta DBE}}}}{{{S_{\Delta BEC}}}} = \frac{{DB}}{{BC}} = \frac{4}{7}$.

Suy ra ${S_{\Delta DBE}} = \frac{{160}}{{21}}\left( {c{m^2}} \right)$.

Mà $\frac{{{S_{\Delta DOE}}}}{{{S_{\Delta DBE}}}} = \frac{{OE}}{{BE}} = \frac{1}{4}$ suy ra ${S_{\Delta DOE}} = \frac{1}{4}.\frac{{160}}{{21}} = \frac{{40}}{{21}}\left( {c{m^2}} \right)$.