Giải bài 22 trang 66 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Bác Na dùng 200 m rào dây thép gai để rào một mảnh đất đủ rộng thành một mảnh vườn hình chữ nhật. a) Lập công thức tính diện tích S(x) của mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (m) của mảnh vườn đó. b) Tìm diện tích lớn nhất có thể rào được của mảnh vườn hình chữ nhật đó.
Đề bài
Bác Na dùng 200 m rào dây thép gai để rào một mảnh đất đủ rộng thành một mảnh vườn hình chữ nhật.
a) Lập công thức tính diện tích S(x) của mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (m) của mảnh vườn đó.
b) Tìm diện tích lớn nhất có thể rào được của mảnh vườn hình chữ nhật đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Bước 1: Tìm nửa chu vi mảnh vườn, từ đó biểu diễn chiều dài thông qua chiều rộng và nửa chu vi.
Bước 2: Diện tích S(x) = chiều dài . chiều rộng.
b) Tìm diện tích lớn nhất có thể rào được của mảnh vườn nghĩa là đi tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S\left( x \right) = x.\left( {100 - x} \right)\).
Bước 1: Biến đổi
\(S\left( x \right) = x.\left( {100 - x} \right) = - {\left( {x - 50} \right)^2} + 2500.\)
Bước 2: Biện luận để tìm GTLN của S(x).
Lời giải chi tiết
a) Do 200m dây thép gai đủ để rào mảnh vườn nên chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là 200m.
Do đó nửa chu vi là \(200:2 = 100\) mét,
khi đó chiều dài mảnh vườn là \(100 - x\)(mét) với \(0 < x < 100\).
Diện tích mảnh vườn là: \(S\left( x \right) = x.\left( {100 - x} \right)\) m 2 .
b) Ta có:
\(S\left( x \right) = x.\left( {100 - x} \right) \\= - \left( {{x^2} - 100x} \right) \\= - {\left( {x - 50} \right)^2} + 2500\)
Do \({\left( {x - 50} \right)^2} \ge 0\) nên \( - {\left( {x - 50} \right)^2} \le 0\),
suy ra \( - {\left( {x - 50} \right)^2} + 2500 \le 2500\forall x\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - 50} \right)^2}\) hay \(x = 50\) (thỏa mãn).
Vậy diện tích lớn nhất có thể rào được của mảnh vườn là 2500m 2 khi \(x = 50\).