Giải bài 22 trang 91 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho tam giác ABC vuông cân tại C và nội tiếp đường tròn (O;R). E là điểm tùy ý trên cung nhỏ AC. Gọi I là giao điểm của EB và AC. Kẻ IK vuông góc với AB. Chứng minh rằng khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì EK luôn đi qua một điểm cố định.
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông cân tại C và nội tiếp đường tròn (O;R). E là điểm tùy ý trên cung nhỏ AC. Gọi I là giao điểm của EB và AC. Kẻ IK vuông góc với AB. Chứng minh rằng khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì EK luôn đi qua một điểm cố định.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh ^BEK=^BED=45o suy ra E, K, D thẳng hàng nên khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì EK luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải chi tiết
Kẻ đường kính CD suy ra D cố định.
Ta có ^AEI=^AKI=90o nên tứ giác EIKA nội tiếp đường tròn đường kính AI.
Từ đó suy ra ^KAI=^KEI.
Lại có ^KAI=45o (do tam giác ACB vuông cân tại C) do đó ^KEI=45o hay ^BEK=45o (1).
Mặt khác, ^BED=45o (do D là điểm chính giữa của cung AB) (2).
Từ (1) và (2) suy ra E, K, D thẳng hàng.
Vậy khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì EK luôn đi qua điểm D cố định.