Giải bài 24 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy$ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $CD$, $SB$.

a)    Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {CDN} \right)$.

b)    Chứng minh rằng đường thẳng $CN$ song song với mặt phẳng $\left( {SAM} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Vẽ $NP\parallel AB$ với $P \in SA$. Do $AB\parallel CD$ nên ta suy ra $NP\parallel CD$.

Ta có $N \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {CDN} \right)$, nên tồn tại giao tuyến (là đường thẳng đi qua $N$) của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {CDN} \right)$.

Mặt khác, ta có $AB\parallel CD$, $AB \subset \left( {SAB} \right)$, $CD \subset \left( {CDN} \right)$, ta suy ra giao tuyến của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {CDN} \right)$ song song với $CD$, tức là giao tuyến đó là đường thẳng $NP$.

b) Do $N$ là trung điểm của $SB$, $NP\parallel AB$ nên $NP$ là đường trung bình của tam giác $SAB$. Suy ra $NP = \frac{1}{2}AB$.

Mặt khác, do $M$ là trung điểm của $CD$ nên $CM = \frac{1}{2}CD$.

Như vậy $NP = CM$. Mặt khác, ta có $NP\parallel CM$ nên tứ giác $CMPN$ là hình bình hành.

Từ đó $CN\parallel MP$. Do $MP \subset \left( {SAM} \right)$ nên $CN\parallel \left( {SAM} \right)$.

Bài toán dược chứng minh.