Giải bài 24 trang 50 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng có ${u_2} + {u_4} = 22$, ${u_1}{\rm{ }}{\rm{. }}{u_5} = 21$ và công sai $d$ dương.

a) Tính ${u_{100}}$, ${S_{100}}$

b) Tính tổng ${u_1} + {u_5} + {u_9} + ... + {u_{101}}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

${u_2} + {u_4} = 22 \Leftrightarrow {u_1} + d + {u_1} + 3d = 22 \Leftrightarrow 2{u_1} + 4d = 22 \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 11$

$\Leftrightarrow {u_1} = 11 - 2d$ (1).

Mặt khắc, vì${u_1}.{u_5} = 21 \Leftrightarrow {u_1}.\left( {{u_1} + 4d} \right) = 21$ (2).

Thế (1) vào (2) ta có:

$\left( {11 - 2d} \right)\left( {11 - 2d + 4d} \right) = 21 \Leftrightarrow \left( {11 - 2d} \right)\left( {11 + 2d} \right) = 21 \Leftrightarrow {11^2} - {\left( {2d} \right)^2} = 21$

$4{d^2} = 100 \Leftrightarrow {d^2} = 25 \Leftrightarrow d = 5$ (do công sai $d > 0$)

${u_1} = 11 - 2d = 11 - 10 = 1$.

Vậy số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là 1 và 5.

Suy ra:

${u_{100}} = {u_1} + 99d = 1 + 99.5 = 496$, ${S_{100}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 99d} \right).100}}{2} = 50\left( {2 + 99.5} \right) = 24850$.

b) Xét dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = {u_{4n - 3}}$, ta thấy ${v_1} = {u_1}$, ${v_2} = {u_5}$, ${v_3} = {u_9}$,…, ${v_{26}} = {u_{101}}$.

Vậy $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng với số hạng đầu ${v_1} = {u_1} = 1$ và công sai $d' = {v_2} - {v_1} = 4d = 20$.

Do đó, tổng cần tính bằng

${v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{26}} = S'_{26} = \frac{{\left( {2{v_1} + 25d'} \right).26}}{2} = 13\left( {2.1 + 25.20} \right) = 6526$.