Giải bài 25 trang 97 sách bài tập toán 8 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh huyền $BC$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M$ trên đường thẳng $AB,AC$.

a)     Tứ giác $ADME$ là hình gì? Vì sao?

b)    Gọi $I$ là trung điểm của $DE$. Chứng minh ba điểm $A,I,M$ thẳng hàng

c)     Chứng minh khi điểm $M$ thay đổi vị trí trên cạnh $BC$ thì chu vi của tứ giác $ADME$ không đổi.

Lời giải chi tiết

a)     Tứ giác $ADME$ có $\widehat {DAE} = \widehat {AEM} = \widehat {MDA} = 90^\circ$ nên $ADME$ là hình chữ nhật.

b)    Do $ADME$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo $DE$ và $AM$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $I$ là trung điểm của $DE$, suy ra $I$ là trung điểm của $AM$. Vậy ba điểm $A < I,M$ thẳng hàng.

c)     Do $ADME$ là hình chữ nhật nên $DM//AC$. Suy ra $\widehat {BMD} = \widehat {ACB}$ (hai góc so le trong). Mà $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ$ (vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat {BMD} = \widehat {ABC} = 45^\circ$. Do đó, tam giác $BDM$ cân tại $D$. Suy ra $BD = DM$.

Chu vi hình chữ nhật $ADME$ là: $2\left( {AD + DM} \right) = 2\left( {AD + BD} \right) = DM$

Mà $AB$ không đổi nên chu vi của tứ giác $ADME$ không đổi.

d)

Do $ADME$ là hình chữ nhật nên $AM = DE$

Suy ra $DE$ có độ dài nhỏ nhất khi $AM$ có độ dài nhỏ nhất. vậy $M$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng $BC$.

Trong tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ ta cóL

$AC = AB = 2cm$ và $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 8$

Suy ra $BC = \sqrt 8 cm$

$\Delta ABM = \Delta ACM$ (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra $BM = CM = \frac{{BC}}{2} = \sqrt 2 cm$

Tam giác $ABM$ vuông tại $M$ có $\widehat {ABM} = 45^\circ$ nên $\widehat {BAM} = \widehat {ABM} = 45^\circ$. Suy ra tam giác $ABM$ vuông cân tại $M$. Do đó $AM = BM = \sqrt 2 cm$. Vậy $DE = \sqrt 2 cm$.