Giải bài 26 trang 43 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

a) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn $a < b$. Chứng minh: $\frac{{a + c}}{{b + c}} > \frac{a}{b}$.

b) Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: $M = \frac{{{{10}^{2023}} + 1}}{{{{10}^{2024}} + 1}}$ và $N = \frac{{{{10}^{2022}} + 1}}{{{{10}^{2023}} + 1}}$

Lời giải chi tiết

Xét hiệu $\frac{{a + c}}{{b + c}} - \frac{a}{b} = \frac{{b\left( {a + c} \right) - a\left( {b + c} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}$$= \frac{{ab + bc - ab - ac}}{{b\left( {b + c} \right)}} = \frac{{bc - ac}}{{b\left( {b + c} \right)}} = \frac{{c\left( {b - a} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}$

Do a, b, c là các số dương  và $a < b$ nên $b - a > 0$, $\left( {b + c} \right)$ suy ra $\frac{{c\left( {b - a} \right)}}{{b\left( {b + c} \right)}}$, do đó $\frac{{a + c}}{{b + c}} - \frac{a}{b}$

Hay $\frac{{a + c}}{{b + c}} > \frac{a}{b}$.

$N = \frac{{{{10}^{2022}} + 1}}{{{{10}^{2023}} + 1}} = \frac{{10\left( {{{10}^{2022}} + 1} \right)}}{{10\left( {{{10}^{2023}} + 1} \right)}} = \frac{{\left( {{{10}^{2023}} + 1} \right) + 9}}{{\left( {{{10}^{2024}} + 1} \right) + 9}}$

Theo câu a, ta có $N = \frac{{\left( {{{10}^{2023}} + 1} \right) + 9}}{{\left( {{{10}^{2024}} + 1} \right) + 9}} > \frac{{{{10}^{2023}} + 1}}{{{{10}^{2024}} + 1}}$

Do đó $M < N.$