Giải bài 26 trang 46 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Tìm các đa thức P(x) và Q(x), biết P(x) + Q(x) = x2 + 1 và P(x) - Q(x) = 2x.
Đề bài
Tìm các đa thức P ( x ) và Q ( x ), biết P ( x ) + Q ( x ) = x 2 + 1 và P ( x ) - Q ( x ) = 2 x .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Biểu diễn đa thức P ( x ) theo Q ( x ) hoặc ngược lại từ một trong hai giả thiết
Bước 2: Thay đa thức P ( x ) hoặc Q ( x ) được biểu diễn từ bước 1 vào giả thiết còn lại rồi tìm đa thức tương ứng
Bước 3: Tìm đa thức P ( x ) hoặc Q ( x ) từ đa thức đã tìm được ở bước 2
Lời giải chi tiết
Ta có: P ( x ) - Q ( x ) = 2 x \( \Rightarrow Q(x) = P(x) - 2x\). Khi đó P ( x ) + Q ( x ) = x 2 + 1 \( \Leftrightarrow P(x) + \left( {P(x) - 2x} \right) = {x^2} + 1\)
\( \Leftrightarrow 2.P(x) - 2x = {x^2} + 1\)
\( \Leftrightarrow 2.P(x) = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow P(x) = \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2}\)
Với \(P(x) = \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2}\) thì \(Q(x) = P(x) - 2x = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2}} \right) - 2x = \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2} - 2x = \frac{1}{2}{x^2} - x + \frac{1}{2}\)
Vậy \(P(x) = \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2},Q(x) = \frac{1}{2}{x^2} - x + \frac{1}{2}\)