Giải bài 26 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng $BC$, $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SI$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, $\beta$ là số đo của góc nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\alpha  = {90^o} - \beta$

B. $\alpha  = {180^o} - \beta$

C. $\alpha  = {90^o} + \beta$

D. $\alpha  = \beta$

Lời giải chi tiết

Do $SA \bot \left( {ABC} \right)$, ta suy ra hình chiếu của $S$ trên $\left( {ABC} \right)$ là điểm $A$.

Suy ra góc giữa $SI$ và $\left( {ABC} \right)$ chính là góc $\widehat {SIA}$, tức là $\alpha  = \widehat {SIA}$.

Mặt khác, do $SA \bot \left( {ABC} \right)$, ta suy ra $SA \bot BC$. Mà theo đề bài, $AI \bot BC$ nên ta suy ra $\left( {SAI} \right) \bot BC$, từ đó $SI \bot BC$.

Như vậy, do $SI \bot BC$, $AI \bot BC$, nên $\widehat {SIA}$ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$, tức là $\beta  = \widehat {SIA}$.

Vậy ta suy ra $\alpha  = \beta$.

Đáp án đúng là D.