Giải bài 26 trang 21 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2. Chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương từ tập hợp{1;2;3;...;2n;2n+1}.
Đề bài
Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2. Chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương từ tập hợp{1;2;3;...;2n;2n+1}. Tính xác suất để hai số được chọn có tích là số chẵn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định số phần tử của không gian mẫu.
- Xác định số phần tử của biến cố.
Lời giải chi tiết
Ta thấy từ tập hợp{1;2;3;...;2n;2n+1} có 2n−1 số nguyên dương lớn hơn 2. Mỗi cách chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương từ 2n−1 số nguyên dương cho ta một tổ hợp chập 2 của 2n−1 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các phần tử chập 2 của 2n−1 phần tử và:
n(Ω)=C22n−1=(2n−1)!2!(2n−3)!=(2n−1)(2n−2)2=(2n−1)(n−1).
Xét biến cố A: “Hai số được chọn có tích là số chẵn”.
Suy ra biến cố ˉA: “Hai số được chọn có tích là số lẻ”.
Ta thấy hai số được chọn có tích là số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đó đều là số lẻ.
Trong 2n−1 số nguyên dương lớn hơn 2 thì có n số nguyên dương lẻ.
Do đó, số các kết quả thuận lợi cho biến cố ˉA là:
n(ˉA)=C2n=n!2!(n−2)!=n(n−1)2.
Xác suất của biến cố ˉA là: P(ˉA)=n(ˉA)n(Ω)=n(n−1)2(2n−1)(n−1)=n2(2n−1).
Suy ra xác suất của biến cố A là: P(A)=1−P(ˉA)=1−n2(2n−1)=3n−22(2n−1).