Giải bài 25 trang 76 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày)
Đề bài
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là \(g\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}\) (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm \({t_1}\), \({t_2}\) là \({V_{tb}} = \frac{{g\left( {{t_2}} \right) - g\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}\) và cho biết ý nghĩa kết quả tìm được.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thay hàm \(g\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}\) và giá trị \(g\left( {10} \right)\) vào biểu thức \(\frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}\) và dùng các định lí về giới hạn hàm số để tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}\).
Lời giải chi tiết
Ta có \(g\left( {10} \right) = {45.10^2} - {10^3}\). Như vậy
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{45{t^2} - {t^3} - \left( {{{45.10}^2} - {{10}^3}} \right)}}{{t - 10}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{45\left( {{t^2} - {{10}^2}} \right) - \left( {{t^3} - {{10}^3}} \right)}}{{t - 10}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{45\left( {t - 10} \right)\left( {t + 10} \right) - \left( {t - 10} \right)\left( {{t^2} + 10t + {{10}^2}} \right)}}{{t - 10}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \left[ {45\left( {t + 10} \right) - \left( {{t^2} + 10t + {{10}^2}} \right)} \right] = 45\left( {10 + 10} \right) - \left( {{{10}^2} + {{10}^2} + {{10}^2}} \right) = 600\)
Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ gia tăng người bệnh ngay tại thời điểm \(t = 10\) (ngày) là 600 người/ngày.