Giải bài 25 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy$ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$, $SA$.

a)    Chứng minh rằng $SC$ song song với mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

b)    Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $I$ là trung điểm của $MN$.

Tứ giác $AMCN$ có $AM = CN\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)$ và $AM = CN$ nên nó là hình bình hành.

Mà $I$ là trung điểm của $MN$ nên $I$ là trung điểm của $AC$.

Mặt khác, ta có $P$ là trung điểm của $SA$ nên $PI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$. Suy ra $PI\parallel SC$.

Do $PI \subset \left( {MNP} \right)$, ta kết luận $SC\parallel \left( {MNP} \right)$.

b) Gọi $Q$ là trung điểm của $SD$. Do $N$ là trung điểm của $CD$, nên $NQ$ là đường trung bình của tam giác $SCD$, từ đó $NQ\parallel SC$.

Xét hai mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$, do $N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là một đường thẳng đi qua $N$.

Hơn nữa, do $PI\parallel SC$, $PI \subset \left( {MNP} \right)$, $SC \subset \left( {SCD} \right)$, ta suy ra giao tuyến của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng đi qua $N$ và song song với $SC$. Đó chính là đường thẳng $NQ$.