Giải bài 27 trang 15 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\tan \frac{a}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Tính \(\sin a\), \(\cos a\), \(\tan a\).
Đề bài
Cho \(\tan \frac{a}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Tính \(\sin a\), \(\cos a\), \(\tan a\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức \(\sin 2x = 2\sin x.\cos x = \frac{{2\sin x\cos x}}{1}\) và \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính \(\sin a\).
Sử dụng công thức \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{1}\) và \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính \(\cos a\).
Sử dụng công thức \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\) để tính \(\tan a\).
Lời giải chi tiết
Do \(\tan \frac{a}{2}\) xác định, nên \(\cos \frac{a}{2} \ne 0\).
Ta có:
\(\sin a = \sin \left( {2.\frac{a}{2}} \right) = 2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2} = \frac{{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}}{1} = \frac{{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}}{{{{\sin }^2}\frac{a}{2} + {{\cos }^2}\frac{a}{2}}}\).
Chia cả tử và mẫu của biểu thức trên cho \({\cos ^2}\frac{a}{2} \ne 0\), ta được:
\(\sin a = \frac{{2\frac{{\sin \frac{a}{2}}}{{\cos \frac{a}{2}}}}}{{\frac{{{{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{a}{2}}} + 1}} = \frac{{2\tan \frac{a}{2}}}{{{{\tan }^2}\frac{a}{2} + 1}} = \frac{{2.\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Tưởng tự, ta có:
\(\cos a = {\cos ^2}\frac{a}{2} - {\sin ^2}\frac{a}{2} = \frac{{{{\cos }^2}\frac{a}{2} - {{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{1} = \frac{{{{\cos }^2}\frac{a}{2} - {{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{{{\sin }^2}\frac{a}{2} + {{\cos }^2}\frac{a}{2}}}\)
\( = \frac{{1 - \frac{{{{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{a}{2}}}}}{{\frac{{{{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{a}{2}}} + 1}} = \frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{a}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{a}{2}}} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = \frac{1}{3}\)
Từ đó, \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} :\frac{1}{3} = 2\sqrt 2 \)