Giải bài 3. 44 trang 44 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có $c = 5,\,\,a = 8,\,\,\widehat B = {60^ \circ }.$

a) Tính $b$ và các góc của $A,C$ (số đo các góc làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

b) Tính độ dài đường cao kẻ từ $B.$

c) Tính độ dài trung tuyến kể từ $A.$

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lý cosin, ta có:

$\begin{array}{l}{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\\ \Rightarrow \,\,{b^2} = 64 + 25 - 2.8.5.\cos {60^ \circ } = 49\\ \Rightarrow \,\,b = 7.\end{array}$

Áp dụng định lý cosin, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}\\{\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{49 + 25 - 64}}{{2.7.5}} = \frac{1}{7}}\\{\cos C = \frac{{64 + 49 - 25}}{{2.8.7}} = \frac{{11}}{{14}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A \approx {{82}^ \circ }}\\{\widehat C \approx {{38}^ \circ }}\end{array}} \right.} \right.$

b) Diện tích $\Delta ABC$ là: $S = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}.8.5.\sin {60^ \circ } = 10\sqrt 3 .$

Độ dài đường cao kẻ từ $B$ là: ${h_b} = \frac{{2S}}{b} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{7} = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}.$

c) Độ dài đường trung tuyến kẻ từ $A$ là:

$\begin{array}{l}m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{49 + 25}}{2} - \frac{{64}}{4} = 21\\ \Rightarrow \,\,{m_a} = \sqrt {21} .\end{array}$