Giải bài 3. 45 trang 44 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat B = {15^ \circ },\,\,\widehat C = {30^ \circ },\,\,c = 2.$

a) Tính số đo góc $A$ và độ dài các cạnh $a,b.$

b) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Lấy điểm $D$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $\widehat {BCD} = \widehat {DCA}$ (tức $CD$ là tia phân giác của $\widehat {BCA}$). Tính độ dài $CD.$

Lời giải chi tiết

a) Xét $\widehat A = {180^ \circ } - \widehat B - \widehat C = {180^ \circ } - {15^ \circ } - {30^ \circ } = {135^ \circ }.$

Áp dụng định lý sin, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}}\\{\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin {{135}^ \circ }}} = \frac{2}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\\{\frac{b}{{\sin {{15}^ \circ }}} = \frac{2}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{2\sin {{135}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 2\sqrt 2 }\\{b = \frac{{2\sin {{15}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = \sqrt 6  - \sqrt 2 }\end{array}} \right.} \right.} \right.$

b) Diện tích $\Delta ABC$ là: $S = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .2.\sin {15^ \circ } = \sqrt 3  - 1$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là:

Áp dụng định lý sin, ta có:

$\frac{c}{{\sin C}} = 2R\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{2}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 2R\,\, \Leftrightarrow \,\,R = 2.$

c) Ta có: $CD$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}$

$\Rightarrow$ $\widehat {ACD} = \widehat {BCD} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = {15^ \circ }$

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $IB = IC = \sqrt 2 .$

Xét $\Delta BCD$ có $\widehat {DCB} = \widehat B = {15^ \circ }$

$\Rightarrow$ $\Delta BCD$ cân tại $D.$

Mặt khác $I$ là trung điểm của $BC.$

$\Rightarrow$ $DI \bot BC$

Xét $\Delta CDI$ vuông tại $I$ có: $CD = \frac{{IC}}{{\sin \widehat {DCB}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sin {{15}^ \circ }}} = 2 + 2\sqrt 3 .$