Giải bài 3 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos(x+π4)+cos(π4−x)=0; b) 2cos2x+5sinx−4=0;
Đề bài
Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cos(x+π4)+cos(π4−x)=0;
b) 2cos2x+5sinx−4=0;
c) cos(3x−π4)+2sin2x−1=0.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải:
a, c) Phương trình cosx=m có nghiệm khi |m|≤1. Khi đó, nghiệm của phương trình là x=α+k2π(k∈Z); x=−α+k2π(k∈Z) với α là góc thuộc [0;π] sao cho cosα=m.
Đặc biệt: cosu=cosv⇔u=v+k2π(k∈Z) hoặc u=−v+k2π(k∈Z)
cosu=cosa0⇔u=a0+k3600(k∈Z) hoặc u=−a0+k3600(k∈Z)
b) Phương trình sinx=m có nghiệm khi |m|≤1. Khi đó, nghiệm của phương trình là x=α+k2π(k∈Z); x=π−α+k2π(k∈Z) với α là góc thuộc [−π2;π2] sao cho sinα=m.
Lời giải chi tiết
a) cos(x+π4)+cos(π4−x)=0 ⇔2cosπ4cosx=0 ⇔cosx=0⇔x=π2+kπ(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=π2+kπ(k∈Z)
b) 2cos2x+5sinx−4=0 ⇔2(1−sin2x)+5sinx−4=0 ⇔2sin2x−5sinx+2=0
⇔(2sinx−1)(sinx−2)=0 ⇔2sinx−1=0 (do sinx−2<0 với mọi số thực x)
⇔sinx=12 ⇔sinx=sinπ6 ⇔[x=π6+k2πx=π−π6+k2π(k∈Z) ⇔[x=π6+k2πx=5π6+k2π(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=π6+k2π(k∈Z);x=5π6+k2π(k∈Z)
c) cos(3x−π4)+2sin2x−1=0 ⇔cos(3x−π4)−cos2x=0 ⇔cos(3x−π4)=cos2x
⇔[3x−π4=2x+k2π3x−π4=−2x+k2π(k∈Z) ⇔[x=π4+k2πx=π20+k2π5(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=π4+k2π(k∈Z);x=π20+k2π5(k∈Z)