Giải bài 3 trang 57 SGK Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Tam giác $ABC$ có $AB = 15cm,AC = 20cm,BC = 25cm$. Đường phân giác của góc $BAC$cắt $BC$ tại $D$. Qua $D$ vẽ $DE//AB\left( {E \in AC} \right)$.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng $BD,DC$ và $DE$.

b) Chứng minh $ABC$ là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác $ABC$.

c) Tính diện tích tam giác $ADB,ADE$ và $DCE$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC - BD = 25 - BD$

Vì $AD$ là phân giác của góc $BAC$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{25 - BD}} = \frac{{15}}{{20}} \Leftrightarrow 20.BD = 15.\left( {25 - BD} \right) \Rightarrow 20.BD = 375 - 15.BD$

$\Leftrightarrow 20BD + 15BD = 375 \Leftrightarrow 35BD = 375 \Rightarrow BD = \frac{{375}}{{35}} = \frac{{75}}{7}$

$\Rightarrow DC = 25 - \frac{{75}}{7} = \frac{{100}}{7}$

Vậy $BD = \frac{{75}}{7}cm;DC = \frac{{100}}{7}cm$.

Vì $DE//AB$ nên $\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{\frac{{100}}{7}}}{{25}} = \frac{{DE}}{{15}} \Leftrightarrow DE = \frac{{100}}{7}.15:25 = \frac{{60}}{7}$ (hệ quả của định lí Thales).

Vậy $BD = \frac{{75}}{7}cm;DC = \frac{{100}}{7}cm;DE = \frac{{60}}{7}cm$.

b) Xét tam giác $ABC$ có:

$B{C^2} = {25^2} = 625;A{C^2} = {20^2} = 400;A{B^2} = {15^2} = 225$

$\Rightarrow B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}$

Do đó, tam giác$ABC$ là tam giác vuông tại $A$.

c) Diện tích tam giác $ABC$ là

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.15.20 = 150\left( {c{m^2}} \right)$.

Xét tam giác $ADB$ và tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{\frac{{75}}{7}}}{{25}} = \frac{3}{7}$ và có chung chiều cao hạ từ đỉnh $A$. Do đó, diện tích tam giác $ADB$ bằng $\frac{3}{7}$ diện tích tam giác $ABC$.

Diện tích tam giác $ADB$ là:

${S_{ADB}} = 150.\frac{3}{7} = \frac{{450}}{7}\left( {c{m^2}} \right)$.

Diện tích tam giác $ACD$ là:

${S_{ACD}} = {S_{ABC}} - {S_{ADB}} = 150 - \frac{{450}}{7} = \frac{{600}}{7}$

Vì $ED//AB \Rightarrow \frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{\frac{{100}}{7}}}{{\frac{{75}}{{100}}}} = \frac{4}{3}$

Xét tam giác $ADE$ và tam giác $DCE$ ta có:

$\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{4}{3}$ và hai tam giác này có chung đường cao hạ từ $D$.

Do đó, $\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{DCE}}}} = \frac{4}{3}$.

Diện tích tam giác $ADE$ là

${S_{ADE}} = \frac{{600}}{7}:\left( {3 + 4} \right).4 = \frac{{2400}}{{49}}\left( {c{m^2}} \right)$

${S_{DCE}} = \frac{{600}}{7}:\left( {3 + 4} \right).3 = \frac{{1800}}{{49}}\left( {c{m^2}} \right)$.