Giải bài 3 trang 87 SGK Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\) . Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\) , \(E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(I\) . Gọi \(M\) , \(N\) lần lượt là trung điểm của \(HC\) , \(CE\) . Các đường thẳng \(AM\) , \(AN\) cắt \(HE\) tại \(G\) và \(K\) .

a) Chứng minh tứ giác \(AHCE\) là hình chữ nhật

b) Chứng minh \(HG = GK = KE\)

Lời giải chi tiết

a) Do \(E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(HE\) hay \(HI = EI\)

Tứ giác \(AHCE\) có hai đường chéo \(AC\) và \(HE\) cắt nhau tại trung điểm \(I\) (gt) nên là hình bình hành.

Lại có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) (do \(AH\) là đường cao) nên hình bình hành \(AHCE\) là hình chữ nhật.

b) Xét \(\Delta AHC\) có \(AM\) , \(HI\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta AHC\) .

Suy ra: \(HG = \frac{2}{3}HI;\;IG = \frac{1}{2}HG\)

Chứng minh tưng tự đối với \(\Delta AEC\) có \(K\) là trọng tâm của \(\Delta AEC\)

Suy ra: \(EK = \frac{2}{3}EI\) và \(IK = \frac{1}{2}EK\)

Ta có: \(HG = \frac{2}{3}HI;\;EK = \frac{2}{3}EI\) mà \(HI = EI\)

Suy ra \(HG = EK = \frac{2}{3}EI\)

Mà \(EI = \frac{1}{2}EH\)

Suy ra \(HG = EK = \frac{1}{3}HE\)

Suy ra \(GK = HE - HG - KE = HE - \frac{1}{3}HE - \frac{1}{3}HE = \frac{1}{3}HE\)

Vậy \(HG = GK = KE\)