Giải bài 3 trang 87 SGK Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AC$ , $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $HC$ , $CE$ . Các đường thẳng $AM$ , $AN$ cắt $HE$ tại $G$ và $K$ .

a) Chứng minh tứ giác $AHCE$ là hình chữ nhật

b) Chứng minh $HG = GK = KE$

Lời giải chi tiết

a) Do $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$ nên $I$ là trung điểm của $HE$ hay $HI = EI$

Tứ giác $AHCE$ có hai đường chéo $AC$ và $HE$ cắt nhau tại trung điểm $I$ (gt) nên là hình bình hành.

Lại có $\widehat {AHC} = 90^\circ$ (do $AH$ là đường cao) nên hình bình hành $AHCE$ là hình chữ nhật.

b) Xét $\Delta AHC$ có $AM$ , $HI$ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta AHC$ .

Suy ra: $HG = \frac{2}{3}HI;\;IG = \frac{1}{2}HG$

Chứng minh tưng tự đối với $\Delta AEC$ có $K$ là trọng tâm của $\Delta AEC$

Suy ra: $EK = \frac{2}{3}EI$ và $IK = \frac{1}{2}EK$

Ta có: $HG = \frac{2}{3}HI;\;EK = \frac{2}{3}EI$ mà $HI = EI$

Suy ra $HG = EK = \frac{2}{3}EI$

Mà $EI = \frac{1}{2}EH$

Suy ra $HG = EK = \frac{1}{3}HE$

Suy ra $GK = HE - HG - KE = HE - \frac{1}{3}HE - \frac{1}{3}HE = \frac{1}{3}HE$

Vậy $HG = GK = KE$