Giải bài 3 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Xét tính liên tục của hàm số: a) f(x)=|x+1| tại điểm x=−1; b) g(x)={|x−1|x−1khix≠11khix=1 tại điểm x=1.
Đề bài
Xét tính liên tục của hàm số:
a) f(x)=|x+1| tại điểm x=−1;
b) g(x)={|x−1|x−1khix≠11khix=1 tại điểm x=1.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x0∈K. Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu lim
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định của hàm số là D = \mathbb{R}, chứa điểm - 1.
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left| {x + 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = - 1 + 1 = 0; f\left( { - 1} \right) = \left| { - 1 + 1} \right| = 0;
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left| {x + 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( { - x - 1} \right) = 1 - 1 = 0
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 0 nên hàm số f(x) liên tục tại điểm x = - 1.
b) Tập xác định của hàm số là D = \mathbb{R}, chứa điểm 1.
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1 = 1; \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) nên hàm số g(x) không liên tục tại điểm x = 1.