Giải bài 3 trang 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm các giới hạn sau: a) lim; b) \lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}; c) \lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}; d) \lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}.
Đề bài
Tìm các giới hạn sau:
a) \lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n};
b) \lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}};
c) \lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}};
d) \lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản: \lim {q^n} = 0 (q là số thực, \left| q \right| < 1).
b, c, d) + Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b và c là hằng số: \lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b, \lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a, \lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b, \lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right).
+ Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản: \lim {q^n} = 0 (q là số thực, \left| q \right| < 1), \lim c = c (c là hằng số).
Lời giải chi tiết
a) \lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} = 0 do \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1.
b) \lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}} = \frac{{\lim {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \lim {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}} = \frac{0}{{1 - 0}} = 0;
c) \lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}} = \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}} = \frac{{1 - \lim {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + \lim {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}} = \frac{{1 - 0}}{{1 + 0}} = 1;
d) \lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{{4.4}^n}}}{{{3^n} + {4^n}}} = \frac{4}{{\lim {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + 1}} = \frac{4}{{0 + 1}} = 4.