Giải bài 3 trang 73 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\frac{{a\sqrt {15} }}{6}$. Tính số đo góc phẳng nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$.

Lời giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra, $SG \bot \left( {ABC} \right),SM \bot BC,AM \bot BC$

Do đó, góc SMG là góc phẳng nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên $\widehat {ABC}$ $= {60^0},AB$ $= a$, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, tam giác ABM vuông tại M. Suy ra: $AM$ $= AB.\sin {60^0}$ $= \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $GM$ $= \frac{1}{3}AM$ $= \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Vì tam giác SBC đều nên SM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SBM vuông tại G ta có:

$SM$ $= \sqrt {S{B^2} - B{M^2}}$ $= \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$

Vì $SG \bot \left( {ABC} \right)$ $\Rightarrow SG \bot GM$. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SGM vuông tại G ta có: $SG$ $= \sqrt {S{M^2} - G{M^2}}$ $= \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Vì $GM$ $= SG\left( { = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right),\widehat {SGM}$ $= {90^0}$ nên tam giác SMG vuông cân tại G.

Do đó, $\widehat {SMG}$ $= {45^0}$