Giải bài 3 trang 94 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ
Đề bài
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Xác định vectơ tổng và vectơ hiệu dựa vào các quy tắc cộng, trừ vectơ
Bước 2: Xác định độ dài các cạnh dưới dấu vectơ đã tìm được ở bước 1
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\)
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \)
Từ B kẻ \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CB} \), suy ra \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\)
Áp dụng định lí côsin ta có \(AD = \sqrt {A{B^2} + B{D^2} - 2.AB.BD.\cos \widehat {ABD}} = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2.a.a.\cos 120^\circ } = a\sqrt 3 \)
Vậy độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} \) lần lượt là a và \(a\sqrt 3 \)