Giải bài 31 trang 102 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Cho hình vuông \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(K\) sao cho \(BC = CK\).
Đề bài
Cho hình vuông \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(K\) sao cho \(BC = CK\). Từ điểm \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt tia \(DC\) tại \(E\). Gọi \(F\) là trung điểm của \(BE\).
a) Chứng minh các tứ giác \(BOCF\) và \(BDKE\) đều là hình vuông.
b) Tứ giác \(CDOF\) có thể là hình vuông không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình vuông:
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông
- Hình chữ nhật có hai đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông
Lời giải chi tiết
a) Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông suy ra \(\widehat {ACB} = 45^\circ ,OB = OC,\widehat {BOC} = \widehat {DOC} = 90^\circ \).
Ta có: \(\widehat {BOF} = \widehat {DOC}\) (hai góc đồng vị) nên \(\widehat {OBF} = 90^\circ ;\widehat {CBE} = \widehat {ACB}\) (hai góc so le trong) nên \(\widehat {CBE} = 45^\circ \).
Từ đó ta chứng minh được tam giác \(BDE\) vuông cân tại \(B\) và tam giác \(BCE\) vuông cân tại \(C\). Suy ra \(BD = BE\) và \(BC = EC\).
\(\Delta BCF = \Delta ECF\) (c.c.c). Suy ra ta tính được \(\widehat {BFC} = \widehat {EFC} = 90^\circ \)
Tứ giác \(BOCF\) có \(\widehat {BOC} = \widehat {OBF} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) nên \(BOCF\) là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật \(BOCF\) có \(OB = OC\) nên \(BOCF\) là hình vuông.
Ta có: \(BC = CD\) và \(BC = CE\) nên \(CD = CE\).
Tứ giác \(BDKE\) có hai đường chéo \(BK\) và \(DE\) cắt nhau tại trung điểm \(C\) của mỗi đường nên \(BDKE\) là hình bình hành.
Hình bình hành \(BDKE\) có \(\widehat {DBE} = 90^\circ \)nên \(BDKE\) là hình chữ nhật
Hình chữ nhật \(BDKE\) có \(BD = BE\) nên \(BDKE\) là hình vuông
b) Tứ giác \(CDOF\) có \(\widehat {ODC} = 45^\circ \) nên \(CDOF\) không thể là hình vuông.