Giải bài 31 trang 71 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho các số x, y, z khác 0 thoả mãn (x + y + z = 5) và (xy + yz + xz = 8). Chứng tỏ rằng: (1 le x le frac{7}{3};1 le y le frac{7}{3};1 le z le frac{7}{3})
Đề bài
Cho các số x, y, z khác 0 thoả mãn x+y+z=5 và xy+yz+xz=8.
Chứng tỏ rằng: 1≤x≤73;1≤y≤73;1≤z≤73
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Chứng minh 1≤x≤73.
Bước 1: Đặt S=y+z;P=yz
Bước 2: Biến đổi và biểu diễn S, P thông qua biến x.
Bước 3: Dùng định lý Viète đảo: Nếu hai số có tổng S và tích P thì 2 số đó là nghiệm của phương trình: X2−SX+P=0(điều kiện: S2−4P≥0).
Bước 4: Ta chứng minh 1≤x≤73 thông qua việc biện luận để giải phương trình S2−4P≥0.
Lời giải chi tiết
Đặt S=y+z;P=yz
Suy ra: S=y+z=5−x; P=yz=8−x(y+z)=8−x(5−x).
Từ đó y, z là nghiệm của phương trình:
X2−(5−x)X+8−x(5−x)=0
Điều kiện: S2−4P≥0
hay (5−x)2−4.[8−x(5−x)]≥0,
do đó −3x2+10x−7≥0,
hay 3x2−10x+7≤0,
suy ra 3(x−1)(x−73)≤0 (*).
Vì 3x2−10x+7≤0 và x−1>x−73 nên (*) suy ra x−73≤0 và x−1≥0, do đó x≤73 và x≥1
Vậy 1≤x≤73.
Tương tự ta chứng minh được 1≤y≤73, 1≤z≤73.