Giải bài 32 trang 102 sách bài tập toán 8 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc $A$ và $B$ cắt nhau tại $E$. Tia phân giác của các góc $C$ và $D$ cắt nhau tại $F$. Gọi $G$ là giao điểm của $AE$ và $DF$, $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$. Chứng minh:

a)     $GH//CD$

b)    Tứ giác $GFHE$ là hình vuông

Lời giải chi tiết

a)     Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = 90^\circ$

Mà $AE,BE,CF,DF$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $DAB,ABC,BCD,CDA$ suy ra $\widehat {DAE} = \widehat {EAB} = \widehat {ABE} = \widehat {EBC} = \widehat {BCF} = \widehat {FCD} = \widehat {CDF} = \widehat {FDA} = 45^\circ$

Do đó, các tam giác $EAB,FCD,GAD,HBC$ đều là tam giác vuông cân.

$\Delta GAD = \Delta HBC$ (g.c.g). Suy ra $GD = HC$. Mà $FD = FC$, suy ra $FG = FH$.

Do đó, tam giác $FGH$ vuông cân tại $F$. Suy ra $\widehat {FGH} = 45^\circ$.

Ta có: $\widehat {FGH} = \widehat {CDF} = 45^\circ$ và $\widehat {FGH},\widehat {CDF}$ nằm ở vị trí đồng vị nên $GH//CD$.

b)    $\widehat {EGF} = \widehat {AGD} = 90^\circ$ (hai góc đối đỉnh)

Tứ giác $GFHE$ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $GFHE$ có $FG = FH$ nên $GFHE$ là hình vuông.