Giải bài 33 trang 59 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số: {x=2−3ty=4+tz=5−2t (t là tham số). a) Tìm toạ độ của điểm M thuộc đường thẳng Δ, biết M có hoành độ bằng 5. b) Chứng minh rằng điểm N(8;2;9) thuộc đường thẳng Δ. c) Chứng minh rằng điểm P(−1;5;4) không thuộc đường thẳng Δ. Lập phương trình tham số của đường thẳng Δ′, biết Δ′ đi
Đề bài
Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số: {x=2−3ty=4+tz=5−2t (t là tham số).
a) Tìm toạ độ của điểm M thuộc đường thẳng Δ, biết M có hoành độ bằng 5.
b) Chứng minh rằng điểm N(8;2;9) thuộc đường thẳng Δ.
c) Chứng minh rằng điểm P(−1;5;4) không thuộc đường thẳng Δ. Lập phương trình tham số của đường thẳng Δ′, biết Δ′ đi qua P và song song với Δ.
d) Tìm toạ độ của điểm I, biết I là giao điểm của đường thẳng Δ và mặt phẳng (P):x−y+z+9=0.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Để lập phương trình đường thẳng, ta thường chỉ ra toạ độ một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
‒ Cách tìm giao điểm I của đường thẳng Δ:{x=x0+aty=y0+btz=z0+ct và mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0.
Bước 1: Điểm I nằm trên đường thẳng Δ nên I(x0+at;y0+bt;z0+ct).
Bước 2: I∈(P) nên ta có: A(x0+at)+B(y0+bt)+C(z0+ct)+D=0.
Bước 3: Giải phương trình tìm t và thay vào I.
Lời giải chi tiết
a) Vì M thuộc đường thẳng Δ nên M(2−3t;4+t;5−2t)(t∈R).
Ta có: 2−−3t=5, suy ra t=−1. Do đó {yM=4+t=4+(−1)=3zM=5−2t=5−2.(−1)=7.
Vậy M(5;3;7).
b) Xét hệ: {8=2−3t2=4+t9=5−2t. Suy ra t=−2. Do đó tồn tại số thực t thoả mãn hệ phương trình. Vậy điểm N(8;2;9) thuộc đường thẳng Δ.
c) Xét hệ: {−1=2−3t5=4+t4=5−2t⇔{t=1t=1t=12. Do đó không tồn tại số thực t thoả mãn hệ phương trình. Vậy điểm P(−1;5;4) không thuộc đường thẳng Δ.
Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương →u=(−3;1;−2).
Đường thẳng Δ′ song song với Δ nên có vectơ chỉ phương →u=(−3;1;−2).
Phương trình đường thẳng Δ′ là: {x=−1−3t′y=5+t′z=4−2t′ (t′ là tham số).
d) Điểm I nằm trên đường thẳng Δ nên I(2−3t;4+t;5−2t).
I∈(P) nên ta có: (2−3t)−(4+t)+(5−2t)+9=0. Suy ra t=2.
Vậy I(−4;6;1).