Giải bài 32 trang 59 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$.

a) Vectơ $\overrightarrow n  = \left( {2; - 3; - 6} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$.

b) Vectơ có toạ độ $\left( {2; - 2;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_2}} \right)$.

c) $\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$ với $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$.

d) $\alpha  \approx {69^ \circ }$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {2; - 3; - 6} \right)$. Vậy a) đúng.

Mặt phẳng $\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n'}  = \left( {2;2;1} \right)$. Vậy b) sai.

Ta có: $\cos \alpha  = \cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$. Vậy c) đúng.

$\cos \alpha  = \cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + \left( { - 3} \right).2 + \left( { - 6} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{21}}$.

Suy ra $\alpha  \approx {68^ \circ }$. Vậy d) sai.

a) Đ.

b) S.

c) Đ.

d) S.