Giải bài 31 trang 58 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 2024}}{2} = \frac{{y + 2025}}{3} = \frac{{z + 2026}}{6}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y - 2{\rm{z}} + 1 = 0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.

a) Vectơ $\overrightarrow u  = \left( {2024;2025;2026} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

b) Vectơ có toạ độ $\left( {1;2;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

c) $\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}$ với $\overrightarrow u$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d,\overrightarrow n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

d) $\alpha  \approx {50^ \circ }$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Lời giải chi tiết

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2;3;6} \right)$. Vậy a) sai.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {1; - 2; - 2} \right)$. Vậy b) sai.

Ta có: $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}$. Vậy c) đúng.

$\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 3.\left( { - 2} \right) + 6.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{{21}}$.

Suy ra $\alpha  \approx {50^ \circ }$. Vậy d) đúng.

a) S.

b) S.

c) Đ.

d) Đ.