Giải bài 30 trang 58 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho $a,b$ và $c$ khác 0, côsin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + c = 0$ và $\left( Q \right):by + cz + d = 0$ bằng:

A. $\frac{{{b^2}}}{{\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)} }}$.

B. $\frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} }}$.

C. $\frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)} }}$.

D. $\frac{{{b^2}}}{{\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} }}$.

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {a;b;0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0;b;c} \right)$.

Côsin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng:

$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {a.0 + b.b + 0.c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{{b^2}}}{{\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} }}$.

Chọn D.