Giải bài 4. 1 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm hàm số $y = f\left( x \right)$, biết $f'\left( x \right) = 3\sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)$ và $f\left( 1 \right) = 1$.

Lời giải chi tiết

Do $f'\left( x \right) = 3\sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)$ nên $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $3\sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}$.

Ta có $f\left( x \right)=\int{\left( 3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}} \right)dx=3\int{\sqrt{x}dx+2\int{\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}=3\cdot \frac{x\sqrt{x}}{\left( \frac{3}{2} \right)}}}}+2\cdot \frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}{\left( \frac{2}{3} \right)}+C=2x\sqrt{x}+3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+C$.

Thay $x = 1$ ta được $f\left( 1 \right) = 2 + 3 + C = 1$ suy ra $C =  - 4$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = 2x\sqrt x  + 3\sqrt[3]{{{x^2}}} - 4$.