Giải bài 4.3 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
a) (int {left( {3x + 4} right)sqrt[3]{x}} dx); b) (int {frac{{{{left( {2x + 3} right)}^2}}}{{sqrt x }}} dx).
Đề bài
a) \(\int {\left( {3x + 4} \right)\sqrt[3]{x}} dx\);
b) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}} dx\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân để xuất hiện các đa thức dạng lũy thừa của \(x\).
Sau đó sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa.
Ý b: Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân để xuất hiện các đa thức dạng lũy thừa của \(x\).
Sau đó sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\left( {3x + 4} \right)\sqrt[3]{x} = 3x\sqrt[3]{x} + 4\sqrt[3]{x} = 3{x^{\frac{4}{3}}} + 4{x^{\frac{1}{3}}}\).
Do đó \(\int {\left( {3x + 4} \right)\sqrt[3]{x}} dx = \int {\left( {3{x^{\frac{4}{3}}} + 4{x^{\frac{1}{3}}}} \right)dx = } 3\int {{x^{\frac{4}{3}}}dx + } 4\int {{x^{\frac{1}{3}}}dx} \)
\( = 3\frac{{{x^{\frac{7}{3}}}}}{{\left( {\frac{7}{3}} \right)}} + 4\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}} + C = \frac{9}{7}{x^2}\sqrt[3]{x} + 3x\sqrt[3]{x} + C = \left( {\frac{9}{7}{x^2} + 3x} \right)\sqrt[3]{x} + C.\)
b) Ta có \(\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} = \frac{{4{x^2} + 12x + 9}}{{\sqrt x }} = 4x\sqrt x + 12\sqrt x + \frac{9}{{\sqrt x }} = 4{x^{\frac{3}{2}}} + 12{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9}{{\sqrt x }}\).
Do đó \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}} dx = \int {\left( {4{x^{\frac{3}{2}}} + 12{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9}{{\sqrt x }}} \right)dx = } 4\int {{x^{\frac{3}{2}}}dx + } 12\int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} + 9\int {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} \)
\( = 4 \cdot \frac{{{x^{\frac{5}{2}}}}}{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}} + 12 \cdot \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}} + 9 \cdot 2\sqrt x + C = \frac{8}{5}{x^2}\sqrt x + 8x\sqrt x + 18\sqrt x + C = \left( {\frac{8}{5}{x^2} + 8x + 18} \right)\sqrt x + C.\)