Giải bài 4. 7 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

SBT Toán 12 - Giải SBT Toán 12 - Kết nối tri thức Bài 11. Nguyên hàm - SBT Toán 12 Kết nối tri thức


Giải bài 4.7 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Tìm: a) (int {left( {x + {{sin }^2}frac{x}{2}} right)} dx); b) (int {{{left( {2tan x + cot x} right)}^2}} {rm{ }}dx).

Đề bài

Tìm:

a) \(\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx\);

b) \(\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}} {\rm{ }}dx\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Sử dụng công thức hạ bậc cho \({\sin ^2}\frac{x}{2}\), áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản cho hàm lượng giác và các hàm còn lại.

Ý b: Khai triển, rút gọn biểu thức dưới dấu căn bằng các công thức lượng giác đã học đưa hàm số về dạng có thể áp dụng trực tiếp công thức nguyên hàm cơ bản.

Gợi ý: \({\tan ^2}x = 1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}};{\rm{ co}}{{\rm{t}}^2}x = 1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx = \int x dx + \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{{\sin x}}{2} + C = \frac{{{x^2} + x - \sin x}}{2} + C\).

b) Ta có \({\left( {2\tan x + \cot x} \right)^2} = 4{\tan ^2}x + 4 \cdot \tan x \cdot \cot x + {\cot ^2}x\)\( = 4 \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right) + 4 \cdot 1 + \left( {1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\)

\( = 9 + \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

Do đó\(\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}} dx = \int {\left( {9 + \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\)

\( = 9\int {dx}  + 4\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = 9x + 4\tan x - \cot x + C\).


Cùng chủ đề:

Giải bài 4. 2 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 3 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 4 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 5 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 6 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 7 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 8 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 9 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 10 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 11 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 12 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức