Giải bài 4.10 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx); b) (int {left( {3 + 2{{sin }^2}x} right)} {rm{ }}dx).
Đề bài
Tìm:
a) \(\int {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx\);
b) \(\int {\left( {3 + 2{{\sin }^2}x} \right)} {\rm{ }}dx\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Với biểu thức dưới dấu tích phân, thực hiện chia đa thức để rút gọn, sau đó sử dụng những công thức nguyên hàm cơ bản.
Ý b: Sử dụng công thức hạ bậc cho \(2{\sin ^2}x\) sau đó áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}\).
Do đó \(\int {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx = 2\int {dx} - 3\int {\frac{1}{{x + 1}}} dx = 2\int {dx} - 3\int {\frac{1}{{x + 1}} \cdot {{\left( {x + 1} \right)}^\prime }} dx = 2x - 3\ln \left| {x + 1} \right| + C\).
b) Ta có \(\int {\left( {3 + 2{{\sin }^2}x} \right)} {\rm{ }}dx = \int {\left( {3 + 1 - \cos 2x} \right)} {\rm{ }}dx = 4\int {dx} {\rm{ }} - \int {\cos 2x} {\rm{ }}dx\)
\( = 4\int {dx} {\rm{ }} - \int {\cos 2x \cdot \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }}}{2}} {\rm{ }}dx = 4x - \frac{{\sin 2x}}{2} + C\).