Giải bài 4. 11 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) $\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx}$;

b) $\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có hàm số $f\left( x \right) = 2x + 1$ không âm trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$. Do đó tích phân $\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx}$ là

diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị $y = f\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x = 0$ (trục $Ox$) và

$x = 3$ như hình vẽ bên. Ta cần tính diện tích hình thang vuông có

đáy lớn là 7, đáy bé là 1 và chiều cao là 3.

Suy ra $\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx}  = \frac{1}{2} \cdot \left( {1 + 7} \right) \cdot 3 = 12$.

b) Ta có $\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx}$.

Ta có hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {16 - {x^2}}$ không âm trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$. Do đó tích phân $\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx}$ là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị $y = f\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x = 0$ (trục $Ox$) và $x = 4$ như hình vẽ bên.

Ta cần tính diện tích một phần tư đường tròn có bán kính là 4, tâm O nằm ở góc phần tư thứ I. Suy ra $\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx}  = \frac{1}{4} \cdot \pi  \cdot {4^2} = 4\pi$.